抛物线焦点弦的性质：以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在准线上的射影为A1、B1，如图所示，则有以下结论：(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，且A位于x轴上方，B位于x轴下方，则|AF|＝p1－cosθ，|BF|＝p1＋cosθ；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)1|AF|＋1|BF|＝2p为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．[一题多解]过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于()A．4B．92C．5D．6[解析]解法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cosθ＝|AE||AB|＝13，所以sin2θ＝89.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝2psin2θ＝92.解法二：因为|AF|＝2|BF|，所以1|AF|＋1|BF|＝12|BF|＋1|BF|＝32|BF|＝2p＝1，解得|BF|＝32，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝92.[答案]B设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．334B．938C．6332D．94[解析]由2p＝3，及|AB|＝2psin2α，得|AB|＝2psin2α＝3sin230°＝12.原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin30°＝38，故S△AOB＝12|AB|·d＝12×12×38＝94.[答案]D活用抛物线焦点弦“二级结论”在解题中可快速准确求解，使用时注意条件判断．1.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为()A．5B．6C．163D．203解析：C由题意可知，p＝2，因为1|AF|＋1|BF|＝2p，|AF|＝4，所以|BF|＝43，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋43＝163.2．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若OA→·OB→＝－12，则抛物线C的方程为()A．x2＝8yB．x2＝4yC．y2＝8xD．y2＝4x解析：C设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线AB的方程为x＝my＋p2，联立y2＝2px，x＝my＋p2，消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．设A(x1，y1),B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝p24－p2＝－34p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
